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第28章《銳角三角函數》28.1 銳角三角函數（1）
問題 為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設水管，在山坡上修建一座揚水站，對坡面的綠地進行噴灌。現測得斜坡與水平面所成角的度數是30°，為使出水口的高度為35m，那么需要準備多長的水管？
思考
在上面的問題中，如果使出水口的高度為50m，那么需要準備多長的水管？
∠A的對邊/斜邊=B'C'/AB'=
AB'=2B'C'=2×50=100
結論：在一個直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值都等于。
。思考
如圖，任意畫一個Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，計算∠A的對邊與斜邊的比BC/AB，你能得出什么結論？
在Rt△ABC中，∠C=90°，由于∠A=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得
因此
結論
綜上可知，在一個Rt△ABC中，∠C=90°，當∠A=30°時，∠A的對邊與斜邊的比都等于，是一個固定值；當∠A=45°時，∠A的對邊與斜邊的比都等于
，也是一個固定值。
，是一個固定值；當∠A=45°時，∠A的對邊與斜邊的比都等于，也是一個固定值。問題
一般地，當∠A取其他一定度數的銳角時，它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值？
探究
任意畫Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，那么BC/AB與B'C'/A'B'有什么關系，你能解釋一下嗎？
在圖中，由于∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
這就是說，在直角三角形中，當銳角A的度數一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比也是一個固定值，并且直角三角形中一個銳角的度數越大，它的對邊與斜邊的比值越大。
正弦函數
如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即
sinA=∠A的對邊/斜邊=a/c
例如，當∠A=30°時，我們有sinA=sin30°=
小試牛刀
在Rt△ABC，Rt△DEF中，∠B=30°，∠D=45°，∠C=90°，∠F=90°，若AB=DE=2，
（1）求∠B的對邊與斜邊的比值；
（2）求∠A的對邊與斜邊的比值；
（3）求∠D的對邊與斜邊的比值。
例1 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值。
解：（1）在Rt△ABC中，
因此sinA=BC/AB=3/5
sinB=AC/AB=4/5
（2）在Rt△ABC中，
因此sinA=BC/AB=5/13
sinB=AC/AB=12/13
練習
根據下圖，求sinA和sinB的值。
根據下圖，求sinB的值。
如圖，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB，圖中sinB可由哪兩條線段比求得。
練一練
1、判斷對錯
如圖
（1）sinA=BC/AB（ ）
（2）sinB=BC/AB（ ）
（3）sinA=0.6m（ ）
（4）sinB=0.8（ ）
如圖
sinA=BC/AB（ ）
2、在Rt△ABC中，銳角A的對邊和斜邊同時擴大100倍，sinA的值（ ）
A、擴大100倍 B、縮小1/100
C、不變 D、不能確定
3、如圖
，則sinA=________。
，則sinA=________。小結
如圖，Rt△ABC中，直角邊AC、BC小于斜邊AB，
sinA=BC/AB＜1
sinB=AC/AB＜1
所以0＜sinA＜1，0＜sinB＜1。
如果∠A＜∠B，則BC＜AC，那么0＜sinA＜sinB＜1。
小結拓展
1、銳角三角函數定義：
sinA=∠A的對邊/斜邊
sin30°=
sin45°=
sin45°=2、sinA是∠A的函數。
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張老師
女，中教高級職稱
優秀教師，市級骨干教師、“教學標兵”、勞動模范，市數學教學與研究科研組帶頭人，注重教學改革與實踐。
